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Limitation dans la Logique Formelle
Certains des plus grands penseurs veulent déterminer la nature du raisonnement mathématique dans le but d’améliorer leur compréhension de la notion de ‘preuve’ en mathématique. A cette fin, ils ont tenté de codifier le processus de pensée du raisonnement humain, tel qu'appliqué en mathématique. Ils conjecturent que la logique et les mathématiques sont liés et que les mathématiques pourraient être une branche de la logique et vice versa. Ils pensent que cette sorte de méthode déductive logique de la géométrie peut être employée pour les mathématiques, où tous les véritables exposés d’un système peuvent provenir des bases d’une petite série d’axiomes :
« Le développement évident de la géométrie a crée une impression puissante sur les penseurs à travers les âges ; car le nombre relativement petit d'axiomes porte le poids total de propositions infiniment nombreuses qui en découlent...Pour ces raisons la forme évidente de la géométrie apparaît à beaucoup de générations de penseurs exceptionnels comme un modèle de la connaissance scientifique dans ce qu’elle a de meilleur. »(De la Preuve de Godel, p3)
Cependant, on sait qu’il existe des paradoxes inhérents dans la logique. Et une variété de paradoxes ont aussi été découverts dans la théorie des ensembles, comme le paradoxe de Russell. Ces paradoxes ont tous deux choses en commun : la référence à eux même et la contradiction. Un paradoxe simple et connu est le paradoxe du menteur tel que "Je mens toujours". A partir d’une telle déclaration, il apparaît que si je mens, alors je dis la vérité ;et si je dis la vérité , alors je mens. La déclaration ne peut être ni vraie ni fausse. Cela n’a tout simplement aucun sens. A partir de la découverte des paradoxes dans la théorie des ensembles, les mathématiciens suspectent qu’il pourrait y avoir de sérieuses imperfections dans les autres branches des mathématiques.
« Ces types de problèmes dans les fondements des mathématiques sont responsables de l’intérêt élevé pour la codification des méthodes de raisonnement humains dans la première partie du [20éme siècle]. Les mathématiciens et les philosophes ont commencé a avoir de sérieux doutes quant à savoir si même les théories les plus concrètes, telles que l’étude des nombres entiers (théorie des nombres), étaient construites sur des fondements solides. Si des paradoxes pouvaient surgir si facilement dans la théorie des ensembles dont le concept de base, celui d’un ensemble, est sûrement très intuitivement séduisant, ne devraient t ils pas exister aussi dans les autres branches des mathématiques ?(De Godel, Escher, Bach, p23)
Les logiciens et les mathématiciens ont essayé de travailler autour de ces questions. L’un des plus fameux de ces travaux fut dirigé par Bertrand Russell et Alfred North Whitehead dans leur gigantesque travail du Principia Mathematica. Ils ont réalisé que tous les paradoxes impliquaient la référence à eux même et la contradiction. Et ils ont élaboré un système hiérarchique pour rejeter les deux.
Fondamentalement, Principia Mathematica avait deux buts : (1) fournir une méthode officielle complète pour faire partir toutes les mathématiques d’un ensemble limité d’axiomes ; et (2) être cohérent sans aucun paradoxes.
A ce moment, on ne savait pas clairement si Russell et Whitehead avaient réellement atteint leur but. Il y avait beaucoup en jeu. La fondation véritable de la logique et des mathématiques semblait être sur un sol mouvant. Et il y avait un gros travail, impliquant les plus grands mathématiciens du monde, pour vérifier le travail de Russell et de Whitehead.
« ...[David Hilbert] formula devant la communauté mondiale des mathématiciens... ce défi : démontrer rigoureusement...que le système défini dans Principia Mathématica était a la fois cohérent (exempt de contradictions), et complet ( par exemple que chaque véritable formulation de la théorie des nombres pouvait provenir de l’intérieur du cadre établi dans [Principia Mathematica]. » (De Godel, Escher, Bach, p24)
En 1931, l’espoir de ce grand travail fut détruit par Kurt Gödel avec la publication de son article : Sur les Propositions Sans Réponses de Principia Mathematica et les Systèmes Correspondants. Godel a démontré une limitation inhérente, non juste dans Principia Mathemetica, mais dans chaque système officiel évident concevable qui tente de copier le pouvoir de l’arithmétique. L’arithmétique, la théorie des nombres entiers, comme l’addition et la multiplication, est la partie la plus basique et la plus ancienne des mathématiques, que nous savons avoir une grande importance pratique.
Gödel a prouvé qu’un tel système officiel évident qui tentait de modéliser l’arithmétique ne peut pas être à la fois complet et cohérent en même temps. Cette preuve est connue comme le Théorème Inachevé de Gödel. Il y avait seulement deux possibilités dans un tel système officiel :
(1) Si le système officiel est complet, alors il ne peut être cohérent. Et le système contiendra une contradiction analogue au paradoxe menteur.
(2) Si le système officiel est cohérent, alors il ne peut être complet. Et le système ne peut pas prouver toute la véracité du système.
Pour des systèmes officiels très simples, la limitation n’existe pas. Ironiquement, pour qu’un système officiel devienne plus puissant, au moins aussi puissant que le modèle arithmétique, la limitation du Théorème Inachevé de Gödel devient inévitable.
Quelques scientifiques disent que la preuve de Godel a peu d’importance dans la pratique actuelle. Cependant, Roger Penrose a montré qu’un autre théorème, appelé le théorème de Goodstein, est finalement un théorème de Gödel qui démontre la limite de l’ induction mathématique lors de prouver certaines vérités mathématiques. L’induction mathématique est une méthode purement déductive qui peut être très utile pour prouver des séries infinies de cas avec des étapes limitées de déduction.
Il y avait une motivation plus profonde derrière les efforts de Gödel au delà des questions de Principia Mathematica et d’autres méthodes officielles plus pratiques. Comme d’autres grands mathématiciens et logiciens de son temps, Gödel voulait avoir une meilleure compréhension des questions basiques concernant les mathématiques et la logique : Qu’est ce que la vérité mathématique et qu’est ce que cela signifie de le prouver ? Ces questions restent encore largement non résolues. Une part de la réponse est venue de la découverte que quelques formulations vraies dans le système mathématique ne peuvent être prouvées par les méthodes déductives officielles. Une révélation importante de la réussite de Gödel indique que la notion de preuve est plus faible que la notion de vérité.
La preuve de Gödel semble montrer que l’esprit humain peut comprendre certaines vérités que les systèmes officiels évidents ne pourront jamais prouver. A partir de là, quelques scientifiques et philosophes revendiquent que l’esprit humain ne peut jamais être totalement mécanisé.
Bien que le Théorème Inachevé de Gödel ne soit pas bien connu du public, il est considéré par les scientifiques et les philosophes comme l’une des découvertes majeures des temps modernes. L’importance profonde du travail de Gödel fut reconnue plusieurs années après sa publication :
« Gödel fut finalement reconnu par ses pairs et présenté au premier Prix Albert Einstein en 1951 pour son accomplissement dans le domaine des sciences naturelles—honneur le plus élevé de ce type aux Etats Unis. La commission du prix, qui comprenait Albert Einstein et J.Robert Oppenheimer décrivirent son travail comme" l’une des plus grandes contributions aux sciences des temps modernes. » (De la Preuve de Gödel)
[à suivre]
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